basic_subject:further_mathematics:introducing_definite_integral

:求曲边梯形的面积

1⃣️、 分割

第$i$个小区间, $\bigtriangleup x_{i} = [x_{i}-1,x_{i}], i=1,2,\ldots,n$

2⃣️、 近似

第$i$个小区间, $s$, $\bigtriangleup A_{i} = \bigtriangleup x_{i} \bullet f(\xi_{i}) $ 其中 $\xi_{i} \epsilon [x_{i}-1,x_{i}] $

(用小矩形的面积近似小曲边梯形的面积)

3⃣️、 求和

$$ \sum_{i=1}^n{\bigtriangleup A_{i}} $$

4⃣️、 取极限

取$ \lambda = \max{\bigtriangleup x_{1}, \bigtriangleup x{2},\ldots, \bigtriangleup x{n} } $

$$ 若 \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n{\bigtriangleup A_{i}} \exists $$

$$ \sum_{i=1}^n{\bigtriangleup A_{i}} = \int_a^bf(x)dx = \int_a^bf(t)dt $$

注:定积分是一个数,只与上下限有关,和自变量字母无关。

题型一:求$n$ 项和式的极限

理论:

1.均分为$n$份

$$[a, b] \to^{均分n份} \bigtriangleup x_{i} = \frac{b-a}{n}$$

2.取$\xi_{i}$ 为第 $i$ 个区间的右端点

$$ \xi_{i} = x_{i} = a + \frac{b-a}{n} $$ $$ A_{i} = \bigtriangleup x_{i} \bullet f(\xi_{i}) = \frac{b-a}{n} \bullet f(a+\frac{b-a}{n} \bullet i) $$

$$ \sum_{i=1}^n{\bigtriangleup A_{i}} = \sum_{i=1}^n{\frac{b-a}{n} \bullet f(a+\frac{b-a}{n} \bullet i) } = \frac{b-a}{n}\bullet \sum_{i=1}^n{f(a+\frac{b-a}{n} \bullet i) } $$

从而

$$ \int_a^bf(x)dx = \lim_{n \to \infty}\frac{b-a}{n}\bullet \sum_{i=1}^n{f(a+\frac{b-a}{n} \bullet i) } $$

$$ 注:总面积 = \sum_{i=1}^n{小矩形宽度 + 高度} $$

特殊地:将$[1,0]$ 分为 $n$ 份(即上式中 $a=0,b=1, \xi_{i}$ 取右端点

从而

$$ \int_0^1f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\bullet \sum_{i=1}^n{f(\frac{i}{n}) } $$

积分的核心:
  • 区间
  • 被积函数

推广

1⃣️ 将$[1,0]$ 分为 $2n$ 份

每一份$ \frac{1}{2n} $

第$i$个区间右端点 $\xi_{i} = \frac{1}{2n}$

$$ \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{2n}{\frac{1}{2n}\bullet f(\frac{i}{2n}) } = \int_0^1f(x)dx $$

2⃣️ $\xi_{i} = \frac{i-1}{n}$ 左端点

$$ \int_0^1f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\bullet \sum_{i=1}^n{f(\frac{i-1}{n}) } $$

3⃣️ $\xi_{i} = \frac{2i-1}{2n}$ 右端点

$$ \int_0^1f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\bullet \sum_{i=1}^n{f(\frac{2i-1}{2n}) } $$

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  • 最后更改: 2019/09/01 13:19
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