basic_subject:further_mathematics:knowledge:trigonometric_functions

三角函數中文名稱的由來1)

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圖一:圓的弦,直徑是圓最大的弦

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圖二:圓的割線

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圖三:圓的切線

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Trigonometric_functions.svg Fig. 1: 三角函数:正弦、 餘弦、 正切、 餘割(鏈線)、 正割(鏈線)、 餘切(鏈線)

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数(tan或者tg);在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数(cot)、正割函数(sec)、余割函数(csc)、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式。

三角函数图像见 figure 1,SVG图像来自维基百科 2)

正弦是对边与斜边的比值:$\sin{\theta}=\frac{a}{h} $

餘弦是邻边与斜边的比值:$\cos{\theta}=\frac{b}{h} $

正切是对边与邻边的比值:$\tan{\theta}=\frac{a}{b} $

余切是邻边与对边的比值:$\cot{\theta}=\frac{b}{a} $

正割是斜边与邻边的比值:$\sec{\theta}=\frac{h}{b} $

餘割是斜边与对边的比值:$\csc{\theta}=\frac{h}{a} $

Fig. 2: a, b, h分別為角A的对边、邻边和斜边

sine / 正弦是对边与斜边的比值:$\sin{\theta}= \frac{对边}{斜边} = \frac{a}{h} $

cosine / 餘弦是邻边与斜边的比值:$\cos{\theta}= \frac{邻边}{斜边} = \frac{b}{h} $

Tangent / 正切是对边与邻边的比值:$\tan{\theta}= \frac{对边}{邻边} = \frac{a}{b} $

Cotangent / 余切是邻边与对边的比值:$\cot{\theta}= \frac{斜边}{对边} = \frac{b}{a} $

Secant / 正割是斜边与邻边的比值:$\sec{\theta}= \frac{余边}{斜边} = \frac{h}{b} $

Cosecant / 餘割是斜边与对边的比值:$\csc{\theta}= \frac{斜边}{对边} = \frac{h}{a} $

三角函数间转换关系
关系
$\sin{\theta} = \frac{a}{h} $ \ / $\cos{\theta}= \frac{b}{h} $
$\sec{\theta} = \frac{h}{b} $ / \ $\csc{\theta}= \frac{h}{a} $
$\tan{\theta} = \frac{a}{b} $ $\cot{\theta}= \frac{b}{a} $
$\sin{\theta} = \frac{1}{\csc\theta} $ \ / $\cos{\theta}= \frac{1}{\sec\theta} $
$\sec{\theta} = \frac{1}{\cos\theta} $ / \ $\csc{\theta}= \frac{1}{\cos\theta} $
$\tan{\theta} = \frac{1}{\cot\theta} $ $\cot{\theta}= \frac{1}{\cot\theta} $
反三角函数 定义 值域
$\arcsin(x) = y$ $\sin(y) = x$ $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$
$\arccos(x) = y$ $\cos(y) = x$ $ 0 \le y \le \pi $
$\arctan(x) = y$ $\tan(y) = x$ $ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} $
$arc\csc(x) = y$ $\csc(y) = x$ $ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, y \ne 0 $
$arc\sec(x) = y$ $\sec(y) = x$ $ 0 \le y \le \pi, y \ne \frac{\pi}{2} $
$arc\cot(x) = y$ $\cot(y) = x$ $ 0 < y < \pi $

可用于化简、求极限、求导、积分。

$\sin\alpha\csc\alpha = 1$

$\tan\alpha\cot\alpha = 1$

$1 + \tan^{2}\alpha = \sec^{2}\alpha$

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$\cos\alpha\sec\alpha = 1$

$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$

$1 + \cot^{2}\alpha = \csc^{2}\alpha$

$\cot = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1$

$\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$

$\sin^{2}\alpha = \frac{1-\cos2\alpha}{2}$

$\cot2\alpha = \frac{\cot^{2}\alpha - 1}{2\cot\alpha}$

$\cos^{2}\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2}$

和角和差角公式

三角函数的和差化积与积化和差公式


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  • 最后更改: 2019/08/27 13:36
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